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《数据结构与算法》第8章 树 (C语言)

数据结构与算法 BruceOu 5个月前 (07-04) 150次浏览 0个评论

24QYG9.md.png

8.1树的概念

树(tree)是n(n>=0)个节点的有限集合T,它满足两个条件:

1)有且仅有一个特定的称为根(root)的节点;
2)其余的节点可以分为m(m>=0)个互不相交的有限结合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合又是一棵树,并成为其根的子数(Subtree)。

RfsyCT.png

树的逻辑结构:树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点(子节点),但至多只有一个直接前驱节点(父节点),根节点没有前驱节点,叶节点没有后继节点。

度数:一个节点的子树的个数称为该节点的度数,一棵树的度数是指该树中节点的最大度数;

层数:节点的层数等于父节点的层数加一,根节点的层数定义为一;

深度:树中节点层数的最大值称为该树的高度或深度;

8.2二叉树

二叉树(Binary)是n(n>=0)个节点的有限集合,它或者是空集(n=0),或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树;二叉树是有序树。

Rfs4V1.png

二叉树的性质:

满二叉树:深度为k(k>=1)时2ek-1个节点的二叉树;
完全二叉树:1)只有最下面两层有度数小于2的节点;2)最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上;

满二叉树是完全二叉树的一个特例。

1、二叉树的顺序存储结构
完全二叉树节点的编号方法是从上到下,从左到右,根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n,某节点编号为i :

1)当i > 1(不是根节点)时,有父节点,其父节点编号为i / 2;
2)当2 * i <= n 时,有左子树,其编号为2 * i,否则没有左子树,本身是叶节点;
3)当2 * i + 1 < = n时,有右子树,其编号为2 * i + 1,否则没有右子树;
如何存储:

有n个节点的完全二叉树可以用有 n + 1 个元素的数组进行存储,节点号和数组下标一一对应,下标为零的元素不用。

利用以上特性,可以用下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树,然后用数组存储,这要浪费一些存储空间。

RfsH2D.png

通过添加非字母字符,构成完全二叉树。

2、二叉树的链式存储
1)链式存储结构:

typedef int data_t;  
typedef struct node_t //定义二叉树节点的内部结构  
{  
    data_t data;  
    struct node_t *lchild,*rchild; //指向左孩子和右孩子的指针;  
}bitree_t;  
bitree_t *root; //定义指向二叉树的指针  

2)链式二叉树的创建
链式二叉树的创建要借助顺序存储,比如下面这个二叉树。

RfyVZn.png

我们需要通过添加虚节点使其成为一个完全二叉树,并用大小为n+1的数组来表示,如下

data_t a[] = {0,'a','b','c','d','e',0,'f',0,0,'g','h',0,0,'i'}; 

因为节点号与数组下表是一一对应的,所以我们可以通过这个数组创建一个链式二叉树

利用递归创建一个二叉树:

data_t a[] = {0,'a','b','c','d','e',0,'f',0,0,'g','h',0,0,'i'};  
bitree_t *CreateBitree(int i, data_t a[], int n)  
{  
    bitree_t *root;  
    int j;  
    root = (bitree_t *)malloc(sizeof(bitree_t));  
    root->data = a[i];  

    j = 2 * i;  
    if(j <= n && a[j] != '0')  
    {  
        root->lchild = CreateBitree(j, a, n); //创建  
    }  
    else  
    {  
        root->lchild = NULL;  
    }  

    j = 2 * i + 1;  
    if(j <= n && a[j] != '0')  
    {  
        root->rchild = CreateBitree(j, a, n);  
    }  
    else  
    {  
        root->rchild = NULL;  
    }     
    return root;  
}  

它的遍历顺序:

RfyVZn.png

递归不论是在我们创建二叉树还是遍历二叉树都起到了很大的作用,至于递归,大家可以通过函数栈来理解,函数在执行到 root->lchild = CreateBitree(j, a, n); 这一步时,会再次调用CreateBitree()函数,这样会在栈区开辟一块空间,知道遇到终止条件才会返回,即这片内存区域会被释放,函数执行向上回收,直至该二叉树被创建。

3、二叉树的遍历
遍历:沿某条搜索路径周游二叉树,对树中的每一个节点访问一次且仅访问一次。

由于二叉树的递归性质,遍历算法也是递归的。三种基本的遍历算法如下:

1)先序遍历:先访问树根,再访问左子树,最后访问右子树;
2)中序遍历:先访问左子树,再访问树根,最后访问右子树;
3)后序遍历:先访问左子树,再访问右子树,最后访问树根;

先序遍历算法:

void PREORDER(bitree_t *r)  
{  
    if(r == NULL)  
        return;  
    printf("%c ",r->data);  
    PREORDER(r->lchild);  
    PREORDER(r->rchild);  
}  

中序遍历算法:

void INORDER(bitree_t *r)  
{  
    if(r == NULL)  
        return;  
    INORDER(r->lchild);  
    printf("%c ",r->data);  
    INORDER(r->rchild);  
}  

后序遍历算法:

void POSTORDER(bitree_t *r)  
{  
    if(r == NULL)  
        return;  
    POSTORDER(r->lchild);  
    POSTORDER(r->rchild);  
    printf("%c ",r->data);  
}  

我们可以把程序整合一下,写个测试程序:

int main()  
{  
    bitree_t *tree;  

    printf("Begin creating the tree!\n");  
    tree = CreateBitree(1,a,sizeof(a)/sizeof(data_t) - 1);  
    printf("Finish!\n");  

    printf("Preorder traversal:\n");  
    PREORDER(tree);  

    printf("\nInorder traversal:\n");  
    INORDER(tree);  

    printf("\nPostorder traversal:\n");  
    POSTORDER(tree);  
    printf("\n");  

    return 0;  
}  

执行结果如下:

$ ./bitree  
Begin creating the tree!  
Finish!  
Preorder traversal:  
a b d e g h c f i   
Inorder traversal:  
d b g e h a c i f   
Postorder traversal:  
d g h e b i f c a   


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